BILANGAN BULAT 2 : Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan

BILANGAN BULAT 3 : Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan

OPERASI BILANGAN BULAT (2)

OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT

dan SIFAT-SIFAT OPERASINYA

 

Coba bayangkan kalian berjalan dua langkah ke samping kiri, kemudian empat langkah ke samping kanan. Apakah kamu tahu di mana posisimu saat itu?

Kemudian, bayangkan kalau kalian turun tangga ke anak tangga keempat. Kemudian naik sebanyak enam anak tangga. Di mana posisimu  sekarang?

 

Ini bisa kita pahami dengan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.

1.        OPERASI HITUNG PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

Ada dua hal penting yang harus kita ingat dalam operasi hitung penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, yaitu:

Penjumlahan yang bertemu tanda negatif adalah pengurangan.

Contoh:

3 + (-1) = 2

3 + (-2) = 1

 

Pengurangan yang bertemu tanda negatif adalah penjumlahan.

3 – (-1) = 4

3 – (-2) – 5

Contoh Soal Operasi Bilangan Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Seekor ikan hiu berada 200 meter di bawah permukaan laut, puncak sebuah bukit berada 800 meter dari permukaan laut. Jika pesawat terbang berada dua kilometer dari atas bukit, berapa kilometer selisih jarak antara ikan hiu dan pesawat?

Artinya, diketahui bahwa:

Ikan hiu = - 200 meter

Bukit = 800 meter

Pesawat = 2 km

Penyelesaiannya, kita cari lebih dulu posisi pesawat dari permukaan air laut,

Pesawat = 800 m + 2 km

= 800 m + 2000 m = 2800 m

Yang ditanyakan adalah selisih pesawat dan ikan hiu, maka,

= 2800 m – (-200m)

= 2800 m + 200 m = 3000 m = 3 km

Agar lebih jelas, kalian bisa menyaksikan vidio berikut ini :

2.      SIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT

Pada penjumlahan bilangan bulat kita akan mengenal 5 sifat diantaranya;

1.      Sifat Tertutup,

2.      Sifat Komutatif (Pertukaran),

3.      Mempunyai Unsur Identitas

4.      Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

5.      Mempunyai invers

Berikut ini uraiannya….

1.        Sifat Tertutup

Sifat tertutup maksudnya, untuk setiap penjumlahan bilangan bulat akan selalu dihasilkan bilangan bulat pula. Hal tersebut dapat dituliskan bahwa

 “untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku ketentuan a + b = c,  dengan c merupakan bilangan bulat”.

Untuk lebih jelasnya mengenai sifat tertutup bilangan bulat, sobat bisa menyimak contoh soal berikut ini;

Contoh soal…

a.  –9 + 12 = 3
di mana kita ketahui bahwa –9 dan 12 merupakan bilangan bulat dan 3 juga merupakan bilangan bulat.

b. 16 + (–5) = 11
Kita ketahui bahwa bilangan 16 dan –5 merupakan bilangan bulat dan bilangan 11 juga merupakan bilangan bulat.

2. Sifat Komutatif (Pertukaran)

Suatu penjumlahan bilangan bulat akan menghasilkan nilai yang sama meskipun kedua bilangan tersebut di tukarkan tempatnya. Sehingga dapat dituliskan

“Untuk Setiap bilangan bulat a dan b, akan selalu berlaku ketentuan a + b = b + a”.

Untuk lebih jelasnya mengenai sifat Sifat Komutatif (Pertukaran) bilangan bulat, kita bisa menyimak contoh soal berikut ini;

Contoh Soal..

a. 4 + 6 = 10 dan 6 + 4 = 10

b. -7 + 16 = 9 dan 16 + (-7) = 9

c.  8 + (-4) = 4 dan -4 + 8 = 4

d. (-11) + (-20) = -31 dan (-20) + (-11) = -31

 

3. Mempunyai Unsur Identitas

Bilangan 0 ( nol ) pada penjumlahan merupakan unsur identitas, Artinya untuk setiap bilangan bulat berapapun nilainya jika di jumlahkan dengan 0 (nol) akan  menghasilkan bilangan itu sendiri. Sehingga dapat dituliskan

 “Untuk Sembarang bilangan bulat a, akan selalu berlaku ketentuan a + 0 = 0 + a = a.

Untuk lebih jelasnya mengenai Unsur Identitas bilangan bulat, kita bisa menyimak contoh soal berikut ini;

Contoh soal…

a. 35 + 0 = 35 dan 0 + 35 = 35

b. -49 + 0 = 35 dan 0 + (-49) = -49

 

4. Sifat Asosiatif ( Pengelompokan )

Pada Sifat ini dinyatakan

 ” Untuk Setiap bilangan bulat baik a, b, maupun c akan selalu berlaku ketentuan

    (a + b) + c = a + (b + c)”.

Untuk lebih jelasnya mengenai Sifat Asosiatif ( Pengelompokan ) bilangan bulat, kita bisa menyimak contoh soal berikut ini;

Contoh Soal

a. ( 5 + 7 ) + 6 = 18 sama nilainya dengan,  5 + ( 7 + 6 ) = 18

b. ( -8 + (-12) )+ 33 = 13 sama nilainya dengan, -8 + ( -12 + 33) = 13

 

5. Memiliki Invers

Invers suatu bilangan yaitu lawan dari bilangan itu sendiri. suatu bilangan dikatakan memiliki invers jumlah, apabila bilangan tersebut dengan lawannya ( inversnya ) termasuk unsur identitas yaitu 0 (nol).  Invers dari bilangan a yaitu -a, dan sebaliknya invers dari -a yaitu a. Dengan kata lain untuk semua bilangan selain 0 pasti memiliki invers, sehingga berlaku ketentuan a + (–a) = (–a) + a = 0.

Untuk lebih jelasnya mengenai Invers bilangan bulat, kita bisa menyimak contoh soal berikut ini;

a. 34 + (-34) = 0 dan sebaliknya -34 + 34 = 0

b. -27 + 27 = 0 dan sebaliknya 27 + (-27) = 0

 

Demikian Sedikit pembahasan tentang “Sifat – Sifat Penjumlahan Pada Bilangan Bulat” yang dapat kami sampaikan, semoga bermanfaat dan sampai jumpa lagi… 

 

Pola Bilangan 3 ( Deret Aritmatika )

Masihkah kalian masih ingat tentang barisan Aritmatika ?

                         Apakah perbedaanya dengan Deret Aritmatika

 

Perhatikan barisan aritmatika berikut : 1, 3, 5, 7, 9,...Un

Jika barisan bilangan tersebut dijumlahkan semua sukunya,

1+3+5+7+9+...+Un

 

Jadi.... pengertian dari Deret Aritmatika .

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika.

 

Bedakan antara Barisan dan Deret :

Pada barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, 9,....

Sedangkan pada deret aritmatika 1+3+5+7+9 ,

 

 

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

 

 Sn = n/2( a + Un) 

Atau

 Sn = n/2( 2a + (n-1)b ) 

   Keterangan :     Sn  =  jumlah n suku pertama

    a  = suku pertama (U1)

    b  = beda / selisih

     n = urutan

Agar lebih jelas perhatikan latihan soal berikut.

 

Contoh 1 :

 

Tentukan jumlah 10 suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + 8 +... 

 

Pembahasan :

Diketahui: a = 2

                  b = 2

                  n = 10

Ditanyakan : jumlah 10 suku pertama.= S10

Jawab  :

 Dicari U10 lebih dahulu

   Un = a + (n-1) b

   U10 = 2 + ( 10-1).2

           = 2 + 9.2

           = 2 + 18

           = 20,  

 kemudian dicari nilai Sn =  n/2 (a + Un )

 menjadi    S10  =  10/2  ( 2 + 20 )

 

                  S10  =   5 . 22

                          =   110

Atau dengan menggunakan rumus ke dua :  Sn = n/2 (2a +(n-1)b)

 

 Menjadi S10 = 10/2 (2.2 +(10-1)2 )

                      = 5 ( 4 + 9.2 )

                      = 5 (4 +18)

                      = 5.22

                      = 110

                    ( hasilnya sama )

 

 

Cobalah perhitungan diatas kalian cocokkan dengan

 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12+ 14+ 16+ 18+ 20 = .....

Apakah hasilnya sama ? 

Nah....kalian bisa memilih cara yang menurut kalian paling mudah dan paling cepat. Tentunya berhitung dengan teliti ya...

 Contoh 2 : 

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya.

a.       Banyaknya kursi pada baris ke-15 adalah …

b.      Banyaknya kursi di dalam gedung adalah....

Pembahasan :

Diketahui:  barisan aritmatika 12, 14, 16,....

                  a = 12

                  b = 14-12 = 2

                  n = 15

Ditanyakan :     a. banyak kursi pada baris ke-15 = Suku ke-15

                          b.jumlah kursi di gedung = Jumlah 15 suku pertama              

a.       U_n  =  a + (n-1)b

U₁₅ = 12 + (15-1)2

      = 12 + (14.2)

      = 12 + 28

      =  40

Jadi jumlah kursi pada baris ke -15 adalah 40 buah.

b.      S_n = n/2 ( a + U_n )

S₁₅ =  15/2  ( 12 + U₁₅ )

      =  15/2  ( 12 + 40)

      = 15/2  . 52

      =  15 . 26  = 390

Jadi jumlah kursi di dalam gedung adalah 390 buah

Bagaimana anak-anak..... mudah bukan....?

      

Untuk menguji pemahaman kalian kerjakan latihan soal berikut ini pada buku catan kalian.

 

Latihan 1

1.Diketahui barisan bilangan 4, 7, 10, 13, .... tentukan

a.Suku ke-12 (U₁₂ ) 

b.Jumlah 12 suku pertama (S ₁₂)

2.Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 6 kursi, baris kedua berisi 8 kursi, baris ketiga berisi 10 kursi, dan seterusnya. Jika gedung tersebut terdapat 15 baris kursi, maka banyaknya kursi yang berada di dalam gedung adalah …

 

 

 

Selamat berlatih, agar lebih mudah dalam menjawab soal pilihan ganda nanti...

 

 

Pola Bilangan 3 ( Menggeneralisasi Pola Konfigurasi Obyek)

Pola Bilangan 3 ( Menggeneralisasi Pola Konfigurasi Obyek)

Perhatikan vidio berikut ini , cermati dengan teliti, caranya  klik link berikut ini..

Generalisasi pola konfigurasi obyek

Selamat belajar semoga sukses

Aamiin....

POLA BILANGAN 2 (Menentukan Suku Ke-n )

POLA BILANGAN 2 :

Menentukan suku ke-n suatu barisan

(Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri)

1.      Pengertian Barisan Aritmatika

Apakah barisan Aritmatika itu ?

Agar kalian memahami, perhatikan beberapa barisan bilangan berikut ini :

1.      1, 3, 5, 7, 9,....

2.      3, 6, 12, 24, ....

3.      80, 75, 70, 65,....

4.      64, 32, 16, ...

 

Perhatikan barisan bilangan no 1 aturannya adalah, suku berikutnya ditambah 2 dari suku sebelumnya.

Pada barisan no 3, aturannya adalah, suku berikutnya dikurangi 5 dari suku sebelumnya.

Sekarang perhatikan barisan bilangan no 2,....bagaimana aturannya ?  iya...tepat. suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan 2. Bagaiman aturan barisan no 4 ? apa ya.... Oiya...suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dibagi 2.

Barisan no 1 dan 3 disebut Barisan Aritmatika.

Sedangkan barisan no 2 dan 4 disebut Barisan Geometri.

Jadi... Pengertian Barisan aritmatika :

“Barisan aritmatika adalah barisan yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan yang sama/tetap”

atau

“Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku berurutan selalu tetap”

 

Selain barisan bilangan di atas kalian bisa membuat sendiri contoh barisan Aritmatika.

Misalnya :

·         2, 6, 10, 14,....

·         48, 40, 32, 24,...

Apakah barisan 1, 2, 4, 7, 11,.... merupakan barisan aritmatika ?

Jawabnya: bukan , kenapa ? ... karena selisih tiap suku berbeda.

 

2.      Menentukan suku ke-n dari barisan Aritmatika

Untuk menentukan suku ke-n suatu barisan Aritmatika,  perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 :  

Diketahui suatu barisan  1, 4, 7, 10, ... Tentukan suku ke 12 dari barisan tersebut.

Pembahasan :

             Barisan 1, 4, 7, 10, ...

             Suku ke-1 = U₁ = 1

Suku ke-2 = U₂ = 4

Suku ke-3 = U₃ = 7

Suku ke-4 = U₄ =10     dst....

 

Beda/selisih antar suku yang berurutan = 3

             

Jika diurutkan sampai suku ke -12 menjadi 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34.

Maka suku ke-12 = U₁₂ = 34.

Cara tersebut adalah menuliskan dengan manual, yaitu bilangan diurutkan saja sesuai aturannya, yaitu ditambah 3.

Coba bayangkan seandainya ditanyakan urutan ke-50 atau ke-175 , menjadi panjang dan lama kan. Makanya kita bisa menggunakan cara yang lebih pendek, yaitu dengan menggunakan rumus.

Rumus mencari Suku ke-n Barisan Aritmatika :

Un = a + ( n-1 )b

Keterangan :

Un = suku ke-n

a = suku ke-1 = U₁

b = beda/selisih = U_n  - U_n-1

n = urutan

Soal di atas jika dikerjakan dengan rumus sebagai berikut :

barisan  1, 4, 7, 10, ... berapakah suku ke-12 ?

diketahui    a = 1

 b = U₂ – U₁ = 4 – 1 = 3

 n= 12

ditanyakan U₁₂ = ....?

jawab :

 Un = a + ( n-1 )b

 U₁₂ = 1 + (12-1)3

U₁₂ = 1 + (11)3

U₁₂ = 1 + 33

      = 34 ( sama kan ? )

Contoh 2 :

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan:

Diketahui:  banyaknya kursi pd barisan pertama = a = 12. Banyak kursi pada baris ke-2 = 14.

                  Jadi selisih/ beda = b = 2.

Ditanyakan:  banyaknya kursi pada baris ke-20 = U_n = U₂₀.

Jawab  :

 

Un = a + ( n-1 )b

U₂₀ = 12 +(20-1)2

U₂₀ = 12 + (19).2

U₂₀ = 12 + 38

U₂₀  = 50.

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 buah.

Bagaimana , kalian sudah paham ?

Untuk menguji pemahaman kalian cobalah berlatih soal berikut. Kerjakan dengan caranya di buku tulis kalian.

 

Latihan 1

1.     Diketahui barisan bilangan 4, 7, 10, 13, .... tentukan

a.      suku pertama ( a)

b.     beda (b)

c.     Tentukan suku ke 55 ( U₅₅ )

2.     Diketahui barisan Aritmatika 27, 23, 19, 15, … ., … ., …

a.     suku pertama ( a)

b.     beda (b)

c.     Tentukan suku ke 20 ( U₂₀ )

 

3.      Pengertian Barisan Geometri

Pada awal pembahasan sudah ditunjukkan beberapa barisan bilangan untuk membedakan antara barisan Aritmatika dan barisan Geometri . Sehingga bisa disimpulkan pengertian barisan geometri.

Baris Geometri adalah barisan yang mempunyai perbandingan tetap pada setiap dua suku yang berurutan.

Perbedaan dengan barisan aritmatika yaitu barisan aritmatika memiliki beda/selisih yang tetap (ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang tetap), sedangkan barisan geometri memiliki perbandingan tetap (dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang tetap).

 

Beberapa contoh barisan Geometri adalah :

·         3, 6, 12, 24, 48, 96, … dan seterusnya

·         1, 3, 9, 27, 81, 243, … dan seterusnya

·         2, 6, 18, 54, 162, 486, … dan seterusnya

Kalian bisa membuat contoh yang lain.

4.      Menentukan suku ke-n dari barisan Geometri

Untuk menentukan berapakah suku ke-n suatu barisan Geometri, kalian bisa menggunakan cara manual yaitu dengan mengurutkan bilangan sampai pada urutan yang ditanyakan.

Cara lainnya adalah dengan menggunakan rumus :

       

                     U_n  = ar^n-1

 

Keterangan  :  U_n   = Suku ke n

a = Suku pertama

r = Rasio =    U_n   :   U_n-1  

Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut :

 

Contoh 1: Dari barisan geometri 1, 3, 9, 27, …tentukan

a.       Rasio (r)

b.      Suku ke-8

Pembahasan :

Barisan geometri 1, 3, 9, 27, ....

a.       Rasio =  r  = U2   :   U1  =  3:1  = 3

b.      Jika menjawab dengan manual, kita tinggal melanjutkan barisan bilangannya sesuai aturannya, yaitu dikali 3, menjadi : 1,3,9,27,81,243, 729, 2187.

Sehingga suku ke 8 adalah 2187.

Apabila menggunakan rumus, caranya :

1, 3, 9, 27, .... dengan a = 1 dan rasio (r) = 3

Ditanyakan U₈ = ....?

            U_n  = ar^n-1

               U₈  = 1. 3^8-1

   = 1. 3⁷

   = 1. 2187

   = 2187.

( hasilnya sama)

 

Contoh 2 :

Tentukan rasio dan suku ke 6 dari barisan geometri 2, 8, 32, 148, …

pembahasan :

      a = 2

   r  = U2  :  U1   = 8:2 = 4

      U₆     = 2 . 4 ^{6- 1}
             = 2 . 4 ⁵
             = 2. 1204
             = 2.048

Jadi rasio dari barisan geometri adalah 4 dan suku keenam adalah 2.048.

Untuk menguji pemahaman kalian coba kerjakan latihan berikut, catatlah pada buku kalian.

Latihan 2

1.      Tentukan rasio (r) dan suku ke-8 dari barisan geometri  3, 6, 12, 24, …

2.      Tentukan rasio (r)  dan suku ke-7 dari barisan geometri 2, 6, 18, 54, ...

Selamat mengerjakan semoga sukses..... tetap baelajar ya....dengan semangat...

Jika kalian sudah belajar persiapkan untuk menjawab soal - soal pilihan ganda...